2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)【圓】相關(guān)公式

1.圓的周長C=2πr=πd

2.圓的面積S=πr²

3.扇形弧長l=nπr/180

4.扇形面積S=nπr²/360=rl/2

5.圓錐側(cè)面積S=πrl

〖圓的定義〗

幾何說：平面上到定點(diǎn)的距離等于定長的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓。定點(diǎn)稱為圓心，定長稱為半徑。

軌跡說：平面上一動(dòng)點(diǎn)以一定點(diǎn)為中心，一定長為距離運(yùn)動(dòng)一周的軌跡稱為圓周，簡稱圓。

集合說：到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫做圓。

〖圓的相關(guān)量〗

圓周率：圓周長度與圓的直徑長度的比叫做圓周率，

值是3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679...，通常用π表示，計(jì)算中常取3.14為它的近似值(但奧數(shù)常取3或3.1416)。

圓弧和弦：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱弧。大于半圓的弧稱為優(yōu)弧，小于半圓的弧稱為劣弧。連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦。經(jīng)過圓心的弦叫做直徑。

圓心角和圓周角：頂點(diǎn)在圓心上的角叫做圓心角。頂點(diǎn)在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角。

內(nèi)心和外心：過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，其圓心叫做三角形的外心。和三角形三邊都相切的圓叫做這個(gè)三角形的內(nèi)切圓，其圓心稱為內(nèi)心。

扇形：在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形。圓錐側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形。這個(gè)扇形的半徑成為圓錐的母線。

〖圓和圓的相關(guān)量字母表示方法〗

圓—⊙ 半徑—r 弧—⌒ 直徑—d 扇形弧長/圓錐母線—l 周長—C 面積—S

〖圓和其他圖形的位置關(guān)系〗

圓和點(diǎn)的位置關(guān)系：以點(diǎn)P與圓O的為例(設(shè)P是一點(diǎn)，則PO是點(diǎn)到圓心的距離)，P在⊙O外，PO>r;P在⊙O上，PO=r;P在⊙O內(nèi)，PO

直線與圓有3種位置關(guān)系：

無公共點(diǎn)為相離;

有兩個(gè)公共點(diǎn)為相交;

圓與直線有唯一公共點(diǎn)為相切，這條直線叫做圓的切線，這個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)。

以直線AB與圓O為例(設(shè)OP⊥AB于P，則PO是AB到圓心的距離)：

AB與⊙O相離，PO>r;AB與⊙O相切，PO=r;AB與⊙O相交，PO

兩圓之間有5種位置關(guān)系：無公共點(diǎn)的，一圓在另一圓之外叫外離，在之內(nèi)叫內(nèi)含;有唯一公共點(diǎn)的，一圓在另一圓之外叫外切，在之內(nèi)叫內(nèi)切;有兩個(gè)公共點(diǎn)的叫相交。兩圓圓心之間的距離叫做圓心距。

兩圓的半徑分別為R和r，且R≥r，圓心距為P：外離P>R+r;外切P=R+r;相交R-r

〖圓的平面幾何性質(zhì)和定理〗

⑴圓的確定：不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。圓的對(duì)稱性質(zhì)：圓是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸是任意一條過圓心的直線。圓也是中心對(duì)稱圖形，其對(duì)稱中心是圓心。

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的2條弧。

逆定理：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的2條弧。

⑵有關(guān)圓周角和圓心角的性質(zhì)和定理 在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角，兩個(gè)圓周角，兩組弧，兩條弦，兩條弦心距中有一組量相等，那么他們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等。一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。直徑所對(duì)的圓周角是直角。90度的圓周角所對(duì)的弦是直徑。

⑶有關(guān)外接圓和內(nèi)切圓的性質(zhì)和定理

①一個(gè)三角形有唯一確定的外接圓和內(nèi)切圓。外接圓圓心是三角形各邊垂直平分線的交點(diǎn)，到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等;

②內(nèi)切圓的圓心是三角形各內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，到三角形三邊距離相等。

③S三角=1/2*△三角形周長*內(nèi)切圓半徑

④兩相切圓的連心線過切點(diǎn)(連心線：兩個(gè)圓心相連的線段)

〖有關(guān)切線的性質(zhì)和定理〗

圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑;經(jīng)過半徑的一端，并且垂直于這條半徑的直線，是這個(gè)圓的切線。

切線判定定理：經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

切線的性質(zhì)：

(1)經(jīng)過切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

(2)經(jīng)過切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。

(3)圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑。

切線長定理：從圓外一點(diǎn)到圓的兩條切線的長相等，那點(diǎn)與圓心的連線平分切線的夾角。

〖圓的解析幾何性質(zhì)和定理〗

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)O(a，b)為圓心，以r為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x-a)^2+(y-b)^2=r^2。

圓的一般方程：把圓的標(biāo)準(zhǔn)方程展開，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)后，可得圓的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0。和標(biāo)準(zhǔn)方程對(duì)比，其實(shí)D=-2a，E=-2b，F(xiàn)=a^2+b^2。

圓的離心率e=0，在圓上任意一點(diǎn)的曲率半徑都是r。

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